Le plan Quadrilobé de la tour d’Etampes: Une leçon de Géométrie.

Introduction :
Disposer d’une étude complète sur l’architecture de la tour de Guinette, voilà bien un travail indispensable à la compréhension d’un monument qui laisse encore aujourd’hui beaucoup de questions sans réponse. Devant la pauvreté des sources d’archive, c’est donc le seul moyen de restituer les différents niveaux et leurs agencements. Mais au delà du travail de restitution, on peut aussi y voir un outil pour la mise en place d’aménagements destinés à un meilleur accueil et
à l’information du public .
Les premiers relevés effectués au cours de l’été 2000 ont consisté à déterminer les mesures au intérieures de la tour. Nous nous sommes en grande partie attachés à comprendre le plan au sol de la tour. Nous  n’avons pas tenu compte des aménagements dans l’épaisseur des murs ; mais il faut bien, n’est-ce pas, conserver du travail pour l’avenir. Nous avons apporté beaucoup de soins à la projection au sol des différents axes et aux relevés des mesures.. La seule réserve que nous pouvons faire concerne la précision des mesures faites au deuxième étage. Travailler à quinze mètres du sol n’est pas une chose facile. Même si la corniche qui fait entre 0,80m et 1,30m offre un certain « confort » , il nous a été parfois difficile de tendre le ruban du décamètre d’un bord à l’autre du lobe.

Mesures :  
Il nous a tout d’abord fallu déterminer les centres des différents cercles constituant le plan de la tour afin d’en exprimer avec précision, les diamètres et les positions respectives.

 1) Rez de chaussée :

Cercle central :

1-1) On trace au cordeau les lignes reliant les points AD, EH, BG, CF. L’intersection de ces lignes détermine un carré.
1-2) On trace les diagonales du carré ainsi formé ce qui nous donne une première position pour le point O, centre du cercle principal.
1-3) On confirme la position obtenue en traçant les droites AE, BF, CG, DH. On retombe à chaque fois à moins d’un demi centimètre du centre O précédemment défini.
1-4) Enfin, on procède à des mesures complémentaires à partir des lignes tracées.

On constate qu’elle mettent en évidence une dissymétrie du plan. On remarque en particulier l’écart relativement important dans les dimensions  des diagonales du carré. Nous reviendrons ultérieurement sur la signification possiblede cette dissymétrie.

Rayon du cercle central:

2) Cercles périphériques ou « lobes ».
On constate qu’en apparence, les cercles formés par chacun des lobes, semblent être positionnés sur le périmètre du cercle central. Nous choisissons donc de partir de cette hypothèse et de la confirmer ou l’infirmer par une série de mesures simples.
2-1) On trace AH pour le premier lobe et on en marque le milieu M1.
2-2) On trace l’axe du premier lobe en projetant la ligne partant de O et passant par M1.
2-3) On reporte la mesure du rayon R du cercle central sur l’axe pour localiser O1, le centre supposé du lobe 1.
2-4) On vérifie par la mesure des droites O1H et O1A et par d’autres mesures sur le pourtour du lobe que O1 en est bien le centre.
2-5) On répète les mêmes mesures pour les 3 autres lobes.

Cette série de mesures nous confirme donc que les centres de chacun des lobes sont bien disposés sur le périmètre du cercle central.
On mesure les rayons dans chacun des lobes, La valeur moyenne est de 2,88m.
On remarquera que ce choix a une importance particulière et que cette construction géométrique permet de maintenir aux murs une épaisseur constante ( quelle que soit cette épaisseur) y compris dans les angles formés par l’intersection de deux lobes. Le monument est parfaitement équilibré et ne présente pas de point faible dans sa structure.

Rayon moyen des lobes :
R= 2,88M

3) Epaisseur des murs :
Nous avons pu mesurer l’épaisseur des murs en deux endroits. Tout d’abord à la porte d’entrée : nous y avons trouvé une épaisseur de 3,90m.
Nous avons effectué une seconde mesure au niveau du deuxième étage dans le lobe où se trouve l’entrée de la tour ; en effet dans ce lobe, il n’y a pas de retrait à hauteur du premier étage et l’épaisseur reste donc constante jusqu’à l’étage noble (deuxième étage). Il nous a donc suffit de mesurer l’épaisseur du mur dans l’une des ouverture et d’y ajouter la largeur de la corniche formée par le retrait à cet étage. Là encore, nous trouvons 3,90m. 

4) Relations entre le cercle central et les lobes :
Quel rapport peut-il exister entre le cercle central et les lobes ?, Quels calculs, quelle logique ont donc réussi à donner à cet ensemble une harmonie et un équilibre ? Après avoir en vain cherché un rapport entre les diamètres , nous avons cherché à déterminer les angles définis par l’intersection des lobes avec le cercle central.

L’angle a a pour valeur : a= Arc sin (M2B/R) 

On fait le même calcul pour chacun des lobes de façon à en déduire une valeur moyenne.
a= Arcsin 0,5129

a=30,857°

De même, si nous faisons les même calculs avec les segments AB,CD, EF et GH, nous trouvons à l’angle inscrivant ces segments une valeur moyenne de 29.6°

 

Cette valeur est très proche de 30 °. Comment ne pas penser alors que l’architecte ait déterminé la dimension des lobes tout simplement en reportant le Rayon R sur la circonférence du cercle central ? (comme nous le faisons pour dessiner une rosace).
Comment expliquer l’écart avec la valeur calculée ?
Nous avons procédé à l’expérience suivante :
– Nous avons, à partir du centre de chacun des lobes, reporté avec une corde , le rayon R du cercle central. Nous avons ensuite noté avec quelle précision nous recoupions les points A à H.
Sur quatre des huit points, nous tombons exactement sur l’arrête ou à moins d’un centimètre. Sur un point, nous tombons à trois centimètres de l’arrête, et sur trois points, nous trouvons un écart de plus de dix centimètres.
Nous somme à nouveau devant un problème : comment expliquer une telle disparité dans les résultats ? Un écart de Deux, trois ou même cinq centimètres nous aurait paru normal, mais dix centimètres doivent-il remettre en cause cette hypothèse ?

5) Précision du plan, dissymétrie :
Nous l’avions déjà remarqué dès nos premières mesures, il y a dans le monument une dissymétrie non négligeable à laquelle nous pouvons tenter de donner différentes explications :

– Les techniques de construction.
La tour date de la première moitié du douzième siècle, les principaux outils pour reporter au sol les plans de l’architecte sont  la règle et la corde à treize noeuds. Quelques expériences sur le terrain ont vite fait de montrer que, même si la précision reste acceptable, les résultats peuvent varier de deux ou trois centimètres . Les études faites sur de nombreux monuments ont montré qu’ils pouvaient présenter des dissymétries non négligeables, parfois tout simplement parce que plusieurs maîtres d’oeuvres s’étaient succédés sur un même chantier, chacun utilisant pour la mesure un « étalon »  différent.
C’est le pied romain avec ses différentes subdivisions qui est l’unité de mesure la plus couramment utilisée.

Le pied Romain et ses divisions:
1 toise = 1949mm
1 pied Romain = 294,45mm
1 pouce = 24,55mm
1 main = 4 pouces=98,2mm
1 paume=8 pouces=196,3mm
1 empan=9 pouces=220,8mm

-Les mesures ont été effectuées sur un sol en béton certes  pratique pour y faire des  tracés, mais aussi incliné pour  permettre l’écoulement des eaux de pluie . Il y a  donc cette  fois introduction d’une erreur dans les mesures relevées.
– Une partie de la tour ( entre la grande brèche et la fissure)  s’est écarté du reste du bâtiment nous ne savons pas quelle  est la portée exacte de ce mouvement au niveau du sol actuel.
-Enfin et c’est sans doute le plus important, les mesures  n’ont pas été faites au niveau du tracé original. Il est facile  de réaliser en examinant la déclivité du terrain que l’assise  du monument, c’est à dire là ou ont été reportés les plans de  l’architecte, se trouve à deux voire trois mètres en dessous du  niveau actuel. Nous devons donc tenir compte de l’erreur  apportée par l’élévation.

6) Surface au sol :


On détermine la surface au sol en calculant la surface du cercle central S, en y ajoutant quatre fois la surface d’un lobe Sl et en retirant quatre fois la surface commune  Sc .

Surface du cerlcle central:
S= 91,61 m²

Surface d’un lobe:
Sl = 26,05 m²
Surface commune:
Sc = 11,58 m²

Surface de la tour au rez de chaussée:
149,49 m²
note: cette surface ne tient pas compte de l’encombrement du puit.

7) Premier étage :
Le premier étage ne se différencie du rez-de-chaussée que par un retrait (figuré en jaune sur le plan) d’environ trente centimètres sur deux des quatre lobes. Ces retraits ou corniches, ont visiblement pour fonction de soutenir le plancher du premier niveau sans que nous puissions encore expliquer pourquoi nous ne retrouvons pas ce retrait sur les quatre lobes. L’hypothèse parfois émise que cet étage étant celui de l’entrée originelle, une passerelle amovible reliait l’entrée à un plancher qui  ne couvrait qu’une partie de la surface de l’étage paraît, sans plus d’explication, peu crédible. En tout cas, elle n’explique pas l’absence de retrait ou de corbeaux destinés à recevoir des poutres dans le lobe sud-est, celui dans lequel débouche l’escalier venant du rez-de-chaussée de même que dans le lobe sud-ouest ou se trouve le puits qui montait jusqu’à cet étage.

8) Deuxième étage ou étage noble :

Le deuxième étage présente un retrait plus important dans trois des quatre lobes. Le lobe qui conserve la même épaisseur sur toute la hauteur étant celui dans lequel sont aménagés les escaliers et couloirs de circulation. A ce niveau, les murs conservent quand même une épaisseur d’environ 2,60m, la largeur du retrait ou corniche varie de 1,10m à 1,30, ce qui voudrait dire que le centre du cercle dessinant le lobe à ce niveau serait décalé d’environ 0,20m par rapport au rez-de-chaussée.
Pour des raisons de sécurité évidentes, nous n’avons pu effectuer des mesures dans les deux lobes sud-ouest et nord-ouest. Là, c’est une surprise de taille qui nous attendait puisque nous avons trouvé une différence de 27 cm dans les diamètres, soit 8,01m pour le lobe sud-ouest et 8,28m pour le lobe nord-ouest. Difficile cette fois d’invoquer les seules techniques de construction ou les procédés de prise de mesure pour expliquer une telle différence. Mais peut-être la réponse se trouve t-elle dans l’aménagement de ces deux lobes, en effet, le lobe sud-ouest comporte, deux ouvertures (dont l’une est équipée d’une sorte d’évier avec écoulement vers l’extérieur) et une cheminée alors que le lobe nord-ouest n’est équipé que d’une fenêtre. Il est alors probable que le lobe nord-est, qui comporte les mêmes aménagements que le lobe sud-ouest qui lui fait face ait aussi les mêmes dimensions. Mais ça, nous ne pourrons le vérifier que lorsque nous pourrons accéder à cette partie de la tour. Autre difficulté, ce lobe est traversé par une grande fissure qui descend jusqu’à l’ouverture du rez-de-chaussée, et la partie Est s’est écartée du reste du bâtiment. Il faudra donc, pour avoir une mesure correcte du lobe,quantifier l’écartement à ce niveau et appliquer le facteur de correction correspondant.
Des mesures que nous avons pu prendre, nous pouvons faire une estimation correcte de la surface :
On peut considérer que c’est la surface du Rez-de–chaussée à laquelle il faut ajouter plusieurs sections de couronne circulaire, soit :
Quatre sections d’environ 30° d’une couronne dont les rayons sont respectivement 5,40m et 6,80m . Ce qui nous donne une surface de 17,88m2.
Trois sections d’environ 180° d’une couronne dont les rayons sont respectivement 2,88m et 4,08m. Ce qui nous donne une surface de 39,4m2.

Nous avons donc pour le deuxième étage une surface de l’ordre de 206m2.